普考申論題
108年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
四、設 P(t) 是物種在時間 t 時的總數，經典的數學模型是以下的 logistic 模型： dP/dt = αP(γ - P) 這時 α 跟 γ 都是正的實數。請回答下列兩個問題：
四、設 P(t) 是物種在時間 t 時的總數，經典的數學模型是以下的 logistic 模型： dP/dt = αP(γ - P) 這時 α 跟 γ 都是正的實數。請回答下列兩個問題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
假設初始物種總數為 P(0) = P₀ 且 0 < P₀ < γ ，請問物種數的變化率，也就是 dP/dt，是否一直是遞增函數？如果不是，請問在物種數 P 等於多少時，dP/dt 的遞增或遞減性會產生改變？（15 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻聯想到，要求「變化率的增減性」，就是對「變化率 (dP/dt)」再微分一次，也就是求二階導數 (d²P/dt²)。透過連鎖律將 d²P/dt² 展開為包含 P 的表示式，並利用已知條件 0 < P < γ 來判斷正負號，即可找出改變增減性的臨界點。
小題 (二)
現在假設初始值 P₀ 為任一正數，請說明此時的 P(t) 在 t → ∞ 會趨近於什麼值？這個趨近值跟 P₀ 有沒有關係？（10 分）
思路引導 VIP
看到羅吉斯（Logistic）模型，應立刻想到可利用分離變數法（Separation of Variables）與部分分式求出解析解，或利用相圖（Phase Line）進行定性分析。本題要求明確說明極限趨勢與初始值的關係，最嚴謹的作法是直接解出 P(t) 的函數型態，再令 t → ∞ 求極限，即可清晰證明結果是否受 P₀ 影響。