高考申論題
110年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
科學問題應用，模擬日全蝕現象（如 2020/6/21 之日全蝕），計算日全蝕過程中於日全蝕處大氣短收直接來自太陽的能量。日全蝕過程如圖，白色圓圈為太陽、灰色圓圈為月亮，兩星球視覺半徑皆為 R。假設月亮靜止不動，太陽等速直線運動（v=2R/T），t 為時間，初虧時 t=0，食甚時 t=T（兩星球完全重疊），單位時間、單位面積之太陽能量強度為 S，且假設 S 為固定值。 （提示：能量變化 dw=dA·S·dt）
科學問題應用，模擬日全蝕現象（如 2020/6/21 之日全蝕），計算日全蝕過程中於日全蝕處大氣短收直接來自太陽的能量。日全蝕過程如圖，白色圓圈為太陽、灰色圓圈為月亮，兩星球視覺半徑皆為 R。假設月亮靜止不動，太陽等速直線運動（v=2R/T），t 為時間，初虧時 t=0，食甚時 t=T（兩星球完全重疊），單位時間、單位面積之太陽能量強度為 S，且假設 S 為固定值。 （提示：能量變化 dw=dA·S·dt）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求在 t=0～T 任意時間兩球重疊處的面積 A，θ 為重疊處之夾角，A 為 θ 之函數。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗幾何圖形面積的解析能力。觀察圖形對稱性，可知兩等圓的重疊區域由兩個完全相同的『弓形』組成。解題關鍵在於利用給定的圓心角 θ，先算出扇形面積，再扣除等腰三角形面積以求得單個弓形面積，最後乘以 2 倍即為總重疊面積。
小題 (二)
求初虧到食甚過程（t=0～T）中於日全蝕地點大氣所短收直接來自太陽的能量。（20 分）
思路引導 VIP
本題關鍵在於求出兩圓重疊面積隨時間變化的函數 A(t)，並對時間進行積分。可藉由題目附圖的幾何提示，以圓心角 θ 作為媒介變數，找出圓心距與時間的關係進行變數代換，大幅簡化積分過程。