第 一 題

【解題思路】使用輻射計數統計的最適化量測時間配置公式（Neyman allocation）進行推導求解。 【詳解】 已知：

【解題關鍵】利用最佳時間分配下的淨計數率最小標準差公式：$\sigma_{R_n} = \frac{\sqrt{R_t} + \sqrt{R_b}}{\sqrt{T}}$ 進行計算。\n【解答】\n 計算：\n Step 1：釐清總計數率與淨計數率之關係\n 依題意，樣本「淨」計數率 $R_n = 80$ cpm，背景計數率 $R_b = 20$ cpm。\n 樣本總計數率 $R_t = R_n + R_b = 80 + 20 = 100$ cpm。\n\n Step 2：代入最佳時間分配下的標準差公式\n 在第（一）小題最佳時間分配（$T_t / T_b = \sqrt{R_t / R_b}$）的條件下，樣本淨計數率的最小標準差 $\sigma_{R_n}$ 公式可化簡為：\n $\sigma_{R_n} = \sqrt{\frac{R_t}{T_t} + \frac{R_b}{T_b}} = \frac{\sqrt{R_t} + \sqrt{R_b}}{\sqrt{T}}$\n\n Step 3：代入數值計算\n 已知總時間 $T = 30$ 分鐘，代入公式：\n $\sigma_{R_n} = \frac{\sqrt{100} + \sqrt{20}}{\sqrt{30}}$\n $\sigma_{R_n} = \frac{10 + 4.472}{5.477} = \frac{14.472}{5.477} \approx 2.642$ cpm\n【答案】樣本淨計數率的標準差約為 2.64 cpm。