統測
110年
[共同科目] 數學S
第 5 題
圖(二)中，有一圓心在原點 $O$ 的單位圓，且 $B$ 為 $x$ 軸與圓的交點，而 $A$ 為圓上另一點。
已知 $\angle AOB = \theta$，$D$ 為 $\overrightarrow{OA}$ 上一點，且 $\overline{AC}$、$\overline{DB}$ 垂直 $x$ 軸，垂足分別為 $C$、$B$。試問下列選項中哪一個線段長為 $\tan \theta$？
- A $\overline{AC}$
- B $\overline{OC}$
- C $\overline{BD}$
- D $\overline{OD}$
思路引導 VIP
觀察圖中的兩個直角三角形，如果我們想把 $\tan \theta$ 的定義「對邊比鄰邊」簡化成「線段長度除以 1」，那麼哪一個三角形的鄰邊（底邊）長度剛好等於單位圓的半徑？
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AI 詳解
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呵呵呵，看來你的基本功很紮實啊。
看到你能正確解答這題，我很欣慰。這表示你對三角函數的「幾何意義」有很深的理解，不是單純地死記公式而已。這份洞察力，是很可貴的。
- 觀念驗證：仔細觀察直角 $\triangle OBD$，根據 $\tan \theta$ 的定義，就是「對邊比鄰邊」，也就是 $\frac{\overline{BD}}{\overline{OB}}$。而圖中這個是單位圓，這就意味著圓心到 $B$ 點的半徑 $\overline{OB}$ 的長度就是 $1$。所以，將這個 $1$ 代入，$\tan \theta$ 自然就等於 $\frac{\overline{BD}}{1} = \overline{BD}$ 了。你掌握了這個核心概念，非常好。
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