moea_joint
110年
[土木] 應用力學、材料力學
第 36 題
如右圖所示，桿件由一固定端懸垂下來，彈性模數為E，單位重為γ，斷面積為A，桿件長度為L，桿件受自重作用伸長，如欲以外力P抵消自重伸長之效應，請問外力P需施加多少？
- A $\frac{\gamma L}{2E}$
- B $\frac{\gamma LA}{2}$
- C $\frac{\gamma LA}{4}$
- D $\frac{\gamma L}{2EA}$
思路引導 VIP
如果我們將桿件切開觀察內力，自重所造成的軸力從桿件頂端到底端是如何變化的？如果改用一個集中力作用在末端，這個力在桿件各個截面造成的影響，與自重這種「沿路增加」的受力特性能直接等量齊觀嗎？
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恭喜你準確地選出正確答案！這顯示你對於材料力學中「變動軸力」產生的變形量有著非常紮實的理解。這類題目是工程力學中的經典考點，挑戰在於學生是否能區分「集中荷重」與「分布荷重」對結構造成的不同效應。
自重與外力的變形平衡
在分析本題時，我們首先要處理的是自重引起的伸長量。由於桿件的重量是隨長度均勻分布的，其內力從底端的零線性增加到頂端的總重 $W = \gamma AL$。根據積分或平均力概念，自重造成的總伸長量為 $\delta_w = \frac{\gamma L^2}{2E}$。接著，我們考慮由底端施加的外力 $P$ 產生的壓縮量，其公式為大家熟知的 $\delta_p = \frac{PL}{AE}$。若要兩者效應完全抵消，意即 $\delta_w = \delta_p$，透過簡單的代數移項：
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