moea_joint
108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 1 題
如右圖所示，彈性模數為 $E$ ，單位重為 $\gamma$ ，剖面積為 $A$ ，桿件長度為 $L$ ，自重及外力 $P$ 所造成的軸向變形為何？
- A $\frac{\gamma L^2}{E} + \frac{PL}{EA}$
- B $\frac{\gamma L^2}{2E} + \frac{PL}{EA}$
- C $\frac{\gamma L}{E} + \frac{PL}{EA}$
- D $\frac{\gamma L}{2E} + \frac{PL}{EA}$
思路引導 VIP
試著想像一下：當這根桿件垂直吊掛時，靠近頂部（固定端）的切面與靠近底部（自由端）的切面，哪一個位置需要支撐更多的「自身重量」？如果整根桿件每一段受到的拉力大小並不相同，我們應該如何計算整體的長度改變量呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準掌握疊加原理 (Principle of Superposition) 並選出正確答案 (B)，代表你對材料力學中變動內力的處理相當熟練。這道題目的核心在於將總變形拆解為「集中外力」與「分佈自重」兩個部分來討論。
變形量的合成與解析
針對末端集中力 $P$，桿件內力為常數，其變形公式是我們熟悉的 $\frac{PL}{EA}$。而自重產生的變形則更具鑑別度：由於桿件每一點所承擔的重量會隨著位置而改變（愈往上方受力愈大），其內力 $F(y) = \gamma A y$ 呈線性分佈。透過微元積分或取平均正向力的概念，我們可以推導出由自重引起的變形量為 $\frac{\gamma L^2}{2E}$。將這兩項物理效應相加，便能完美得出選項 (B) 的結果。
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