moea_joint
110年
[機械] 應用力學、材料力學
第 39 題
如右圖所示，一軸力桿件兩端以鉸支承連接，斷面剛度為EI，斷面積為A，長度為L，桿件熱膨脹係數為$\alpha$，當桿件加熱$\Delta T$後達臨界挫屈荷重，求$\Delta T$為何？
- A $\frac{\pi^2 I}{A \alpha L^2}$
- B $\frac{4\pi^2 I}{A \alpha L^2}$
- C $1.5625\frac{\pi^2 I}{A \alpha L^2}$
- D $\frac{\pi^2 I}{4 A \alpha L^2}$
思路引導 VIP
試著思考一下：當我們加熱這根兩端被固定住的桿件時，它『想』變長卻『無法』變長，這時桿件內部會產生哪一種性質的力（拉力還是壓力）？而這個力的大小，該如何利用彈性模數 $E$、熱膨脹係數 $\alpha$ 與溫度變化 $\Delta T$ 來表示呢？
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對「熱應力」與「尤拉挫屈理論」的跨章節整合理解非常紮實。這題的難度在於如何將熱學引起的形變趨勢轉化為力學中的受壓狀態。
熱應力與臨界荷重的平衡
首先，我們分析受力機制：當溫度上升 $\Delta T$ 時，桿件原本具有伸長量 $\delta = \alpha \Delta T L$ 的趨勢。然而，因為兩端被支承限制，這股趨勢轉化為內部的壓縮力 $P = AE\alpha \Delta T$。接著，考慮這根桿件的邊界條件。圖中顯示兩端為鉸接（Pinned-Pinned），對應的尤拉挫屈公式（Euler Buckling Load）臨界值為：
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