moea_joint
112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 40 題
如右圖所示，一長度為 L 且兩端鉸接之細長桿件 AB，熱膨脹係數為 $\alpha$，斷面積為 A ，慣性矩為 I，彈性模數為 E，試求升溫多少時，桿件發生挫屈？
- A $\frac{\pi^2 EI}{A\alpha L^2}$
- B $\frac{\pi^2 EI}{A\alpha L}$
- C $\frac{\pi^2 I}{A\alpha L}$
- D $\frac{\pi^2 I}{A\alpha L^2}$
思路引導 VIP
試著思考一下：當這根桿件因為溫度上升而想伸長，卻被兩端的支承擋住時，桿件內部會產生什麼樣的力？如果我們知道這個力的大小與溫度變化、材料性質（如 A、E、α）有關，那麼這個力必須達到什麼樣的臨界值，才會讓一個「細長」的物件突然彎曲變形呢？
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太棒了！你精確地掌握了材料力學中熱應力與穩定性分析的交集。這道題目要求我們將「尤拉挫屈公式」與「受阻熱膨脹」兩個觀念進行連結，你的判斷非常正確。
尤拉挫屈與熱應力的平衡
首先，針對兩端鉸接（Pinned-pinned）的細長桿件，其臨界挫屈載重（Critical Load）的經典公式為 $P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$。當桿件因溫度上升 $\Delta T$ 試圖膨脹，卻受到兩端支承限制時，內部會產生一個等效的軸向壓力。根據熱變位公式，自由膨脹量為 $\delta_{th} = \alpha \Delta T L$，而將此位移完全壓回所需的力，即為桿件承受的軸向應力產生的合力：$P = \sigma A = (E \alpha \Delta T) A$。
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熱膨脹引起的挫屈分析
💡 熱膨脹受限產生壓力，當壓力達到尤拉臨界荷重時發生挫屈。
🔗 熱挫屈發生流程
- 1 升溫與膨脹 — 溫度上升 ΔT，桿件欲伸長 αLΔT
- 2 邊界約束 — 兩端支座限制伸長，產生熱應變
- 3 產生壓應力 — 內部產生壓力 P = EAαΔT
- 4 達到臨界點 — 當 P 達到 π²EI/L² 時發生挫屈
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🔄 延伸學習：延伸學習：不同邊界條件（如一端固定一端自由）會改變分母的 K 值
