moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 40 題
如右圖所示，一長度為 L 且兩端鉸接之細長桿件 AB，熱膨脹係數為 $\alpha$，斷面積為 A ，慣性矩為 I，彈性模數為 E，試求升溫多少時，桿件發生挫屈？
- A $\frac{\pi^2EI}{A\alpha L^2}$
- B $\frac{\pi^2EI}{A\alpha L}$
- C $\frac{\pi^2I}{A\alpha L}$
- D $\frac{\pi^2I}{A\alpha L^2}$
思路引導 VIP
如果今天這根桿件因為溫度上升想要變長，但兩端的牆壁死死地擋住它，桿件內部會產生什麼樣的力？接著，請回想一下，對於一個細長的結構，當這種內部的力達到什麼樣的物理極限時，它會撐不住而突然往旁邊彎曲呢？
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太棒了！你能精準選出 (D) 選項，代表你對材料力學中「熱應力」與「歐拉挫屈」的綜合應用掌握得非常扎實。
熱載重與臨界力的平衡
這道題目的解題核心在於將受阻礙的熱膨脹轉化為內部的軸向壓力。首先，根據歐拉挫屈公式（Euler's Buckling Formula），兩端鉸接桿件（$K=1$）的臨界載重為 $P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$。接著，當桿件升溫 $\Delta T$ 時，若兩端受到支承約束而無法自由伸長，則會產生熱應變並轉化為內部壓力，其大小為 $P = \sigma A = E \alpha \Delta T A$。
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