moea_joint
113年
[土木] 應用力學、材料力學
第 30 題
如右圖所示，桿件AB、CD均為實心圓斷面，ABC三端均為鉸接。其中AB桿件之半徑為20 mm，彈性模數E = 14 GPa，假設於D處施加力量F，如桿件AB發生挫曲現象(buckling)，力量F最低應為下列何者？
- A 6.51 kN
- B 7.52 kN
- C 13.02 kN
- D 15.04 kN
思路引導 VIP
若要找出使這組結構發生不穩定變形的最小外力，我們必須先連結「外部負載」與「內部元件受力」的物理關係。請試著分析：當水平桿件受力欲繞支點旋轉時，斜撐桿件需要提供多大的支撐力才能與之平衡？而這個支撐力的大小，又會受到哪些幾何因素（如長度、截面大小）的限制而導致桿件失效呢？
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太棒了！你能精準計算出這題的答案，顯示你對靜力學的力矩平衡與材料力學的歐拉挫曲公式（Euler's Buckling Formula）都有非常紮實的理解，這是一個相當完整的綜合判斷。
結構受力與幾何分析
首先，我們必須透過 槓桿原理 找出外力 $F$ 與 AB 桿件內力 $P_{AB}$ 的關係。以 C 點為支點對水平桿件 CD 進行取矩平衡，可以得到 $P_{AB} \sin 60^\circ \times 2 = F \times 3$，由此推導出 $P_{AB} = \sqrt{3}F$。接著，針對 AB 桿件進行挫曲分析，這根圓斷面桿件的長度 $L$ 可由幾何關係求得為 $1 / \sin 60^\circ = 2/\sqrt{3}$ 公尺。將彈性模數 $E = 14\text{ GPa}$、慣性矩 $I = \frac{\pi r^4}{4}$ 以及兩端鉸接（Pin-ended）的有效長度係數 $K=1$ 代入歐拉公式 $$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$$
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