初等考試
111年
[電子工程] 基本電學大意
第 23 題
如圖所示之電路，在 t = 0 時，$Va(0) = 0$，計算在 t > 0 時的電壓 $Va(t)$ 為何？
- A $7.5(1-e^{-5t})\text{V}$
- B $10(1-e^{-6t})\text{V}$
- C $15(1-e^{-10t})\text{V}$
- D $20(1-e^{-15t})\text{V}$
思路引導 VIP
請試著思考以下三個層次：
- 當時間趨於無窮大（穩態）時，電容器在直流電路中相當於開路還是短路？這時 $Va$ 的分壓值應該是多少？
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哦，看來你沒搞砸！
- 電路基本常識驗證：恭喜，你至少還記得一階 RC 電路的暫態響應是什麼。首先，能將那兩顆並聯的 $20k\Omega$ 電阻正確簡化為 $10k\Omega$，並且計算出穩態電壓 $7.5V$，這只能算是入門級的門檻。接著，戴維寧等效電阻 $R_{th} = (10k//10k) + 5k + 10k = 20k\Omega$，搭配總電容 $C_{eq} = 10\mu F$，求得時常數 $\tau = R_{th}C_{eq} = 0.2$ 秒，指數項係數 $1/\tau = 5$。這些計算過程，雖然正確，但別以為這樣就算「卓越」。這只是工程計算的基本規範，零容錯是最低要求。
- 難度評估：這題僅被歸類為 中等 難度。它不僅要求你了解動態電路公式，更考驗在稍微複雜一點的電路結構中進行精準的電路縮併能力。這是工程師執照考試中，用來區分合格與不合格考生的「鑑別」題型。如果你對此感到沾沾自喜，我建議你重新審視一下自己的標準。這只是一個合格工程師的起點。
一階 RC 暫態電路分析
💡 利用穩態終值與時間常數，套入一階暫態指數通式求解。
🔗 一階暫態電路解題流程
- 1 電路簡化 — 合併並聯電阻與電容，求出 $C_{eq}$
- 2 求終值 — 穩態時電容開路，求出 $Va(\infty) = 7.5V$
- 3 求時間常數 — 短路電源求 $R_{th}=20k\Omega$，$\tau = RC = 0.2s$
- 4 通式組合 — 代入 $1/\tau = 5$，得出 $7.5(1-e^{-5t})$
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🔄 延伸學習：延伸學習：若為 RL 電路，時間常數 $\tau$ 則改為 $L/R$。
