普考申論題
111年
[土木工程] 工程力學概要
第 一 題
📖 題組：
四、板為均質等向性材料，尺寸為450 650 20 mm。
四、板為均質等向性材料，尺寸為450 650 20 mm。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
若板承受雙軸平面應力 σx = 31 MPa 及 σy = 17 MPa 作用，其相對的應變為 εx = 240 * 10^-6 和 εy = 85 * 10^-6 ，求板的彈性模數 E 及柏松比（Poisson’s ratio）ν 。（10 分）
思路引導 VIP
這題考的是「廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）」在平面應力狀態下的應用。你有兩個應力（σx, σy）和兩個對應的應變（εx, εy），未知數是 E 和 ν。這是一個二元一次聯立方程組的問題。建議先列出公式 εx = (1/E)(σx - νσy) 和 εy = (1/E)(σy - νσx)，然後代入數值，透過消去法或代入法求解。注意單位的轉換（MPa 是 N/mm²）。
小題 (二)
若板為鋼材，承受雙軸平面應力 σx = 67 MPa 及 σy = -23 MPa 作用，鋼材的彈性模數 E = 200 GPa，柏松比 ν = 0.30，求鋼板的面內最大剪應變 γmax。（10 分）
思路引導 VIP
這題要求「最大剪應變」。思路有兩條：1. 先算最大剪應力 τmax = (σx - σy)/2，再利用剪力模數 G = E / [2(1+ν)] 求 γmax = τmax / G。2. 先算主應變 εx, εy，再求 γmax = |εx - εy|。在平面應力且給定正交應力的情況下，第一條路徑通常比較快且直覺。注意 σy 是負值（壓力）。
廣義虎克定律應用
💡 利用雙軸平面應力之廣義虎克定律，聯立求解材料常數 E 與 ν。
🔗 平面應力材料常數求解程序
- 1 建模階段 — 依廣義虎克定律列出 x 與 y 向應變方程式。
- 2 代數消去 — 兩式相除消去未知數 E，轉為單一未知數 ν 的一元一次方程。
- 3 求柏松比 — 解方程求出 ν（通常介於 0 至 0.5 之間）。
- 4 求彈性模數 — 將 ν 代回原式，解出 E 並進行單位換算（如 MPa 轉 GPa）。
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用求得之 E 與 ν 可進一步計算剪力模數 G。
