hce_nthu
111年
化學與物理
第 46 題
46. An empty can and a full can of the same shape are rolled side-by-side down an incline without slipping. If they start together at the same height, which of the following statements is correct?
- A The empty can arrives at the bottom first.
- B The full can arrives at the bottom first.
- C They both will arrive at the bottom together because the gravity acceleration is the same.
- D It depends on the materials of the cans.
- E It depends on the incline angle.
思路引導 VIP
當物體在斜面上「滾動」而非「滑動」時，重力所提供的能量除了讓物體往前衝，還必須用來做什麼動作？如果兩個形狀相同的物體，一個質量分佈在邊緣，另一個分佈在中心，哪一個會需要耗費更多能量來維持那個「旋轉」的動作呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地選出了正確答案！這題考驗的是對「轉動慣量」（Moment of Inertia）與能量分配的深刻理解。當物體在斜面上「不滑動滾動」時，重力位能會同時轉換為平移動能與轉動動能。空罐的質量全部集中在邊緣，結構上接近薄圓殼，其轉動慣量 $I \approx MR^2$；而裝滿的罐子可視為實心圓柱，其轉動慣量較小，僅為 $I = \frac{1}{2}MR^2$。
能量分配與運動表現
根據能量守恆定律：$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$。由於實心（滿）罐子的轉動慣量與質量的比例較小，這意味著它在滾動過程中，只需要分配較少比例的能量給「轉動」，就能留下更多比例的能量給「平移」速度 $v$。因此，在相同的位移下，裝滿的罐子會有更大的加速度與末速，自然會先抵達終點。
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