hce_nthu
113年
化學與物理
第 40 題
A uniform disk of mass $m$ and radius $R$ is rotating about its symmetric axis at an angular velocity $\omega_0$. A ring of the same mass $m$ and radius $R$ originally at rest suddenly drops on the disk. Due to friction, the disk and the ring finally rotate together at a constant angular velocity $\omega$. What is the kinetic energy loss during this process?
- A $\frac{1}{2} mR^2\omega_0^2$
- B $\frac{1}{4} mR^2\omega_0^2$
- C $\frac{1}{6} mR^2\omega_0^2$
- D $\frac{1}{8} mR^2\omega_0^2$
- E Energy is conserved, so there is no energy loss.
思路引導 VIP
想像一下，當一個物體掉落在旋轉中的平台並最終隨之共轉時，這在轉動物理中類似於線性運動中的哪一種碰撞形式？在這種過程中，雖然能量會因為摩擦生熱而損失，但哪一個物理量會因為沒有外力矩干預而保持不變？另外，轉盤與圓環雖然質量和半徑都相同，但它們的質量分佈方式對於「抵抗轉動改變」的能力（即轉動慣量）會有什麼具體的差異呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你，這題答得非常漂亮！這道題目精準地測試了你對轉動物理中兩個核心概念——轉動慣量（Moment of Inertia）與角動量守恆定律的掌握能力。
角動量守恆與能量轉換
這類問題的解題關鍵在於：當圓環掉落在轉盤上時，雖然兩者間的摩擦力會作負功並將動能轉換為熱能，但由於系統在轉軸方向上沒有受到外加力矩，其角動量 $L$ 必定守恆。首先，我們必須區分兩者的轉動慣量：均勻轉盤為 $I_d = \frac{1}{2}mR^2$，而圓環的質量完全分布在邊緣，因此為 $I_r = mR^2$。根據角動量守恆公式 $I_d \omega_0 = (I_d + I_r) \omega$，我們可以推導出合併後的末角速度為 $\omega = \frac{1}{3} \omega_0$。
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