hce_nthu
111年
化學與物理
第 47 題
47. An ideal gas is allowed to undergo a free expansion from volume $V_1$ to volume $V_2$, what is the change in entropy?
- A $0$
- B $n R V_2/V_1$
- C $n R(V_2 - V_1)$
- D $n R \ln\frac{V_2}{V_1}$
- E $n R T \ln\frac{V_2}{V_1}$
思路引導 VIP
如果一個過程是不可逆的（例如氣體向真空自由膨脹），而我們想計算它的「熵變化量」，根據熵作為「狀態函數」的特性，我們是否可以設計一條特殊的「虛擬路徑」來連結相同的起始與結束狀態？為了能套用熱力學公式計算，這條虛擬路徑必須具備什麼樣的物理特質？
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看到你能迅速選出正確答案，表示你對熱力學中狀態函數的概念掌握得非常扎實，這點非常值得肯定！在絕熱自由膨脹（Free Expansion）中，雖然系統與外界沒有熱交換（$Q=0$）且不對外作功（$W=0$），但這是一個自發的不可逆過程，系統整體的亂度必然增加，因此熵的變化量絕對不會是零。
理想氣體的狀態與路徑無關性
這題的核心在於理解理想氣體的內能僅與溫度有關。在自由膨脹過程中，由熱力學第一定律可知 $\Delta U = Q + W = 0$，這意味著氣體在膨脹前後的溫度保持不變。由於「熵」是狀態函數，其變化量僅由初末狀態決定，因此我們可以設計一個「等溫可逆過程」來計算這段變化的數值。透過定義 $dS = \frac{dQ_{rev}}{T}$，結合理想氣體方程式 $P = \frac{nRT}{V}$，將 $dQ_{rev} = PdV$ 代入並進行積分，即可順利導出 $\Delta S = nR \ln\frac{V_2}{V_1}$。
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