特殊教育
111年
數A
第 20 題
某條路上有三間早餐店，某甲觀察並記錄第一間的排隊人數為 $M$，接著就直接前往第二間店，若第二間排隊人數小於 $M$，就選定第二間排隊，否則就選定第三間排隊。假設三間的排隊人數為 4、10、20 人，不知道哪間是多少人，但每種情形出現機率均相等。試問選定的那家店排隊人數的期望值為何？
- A $\frac{26}{3}$
- B 10
- C $\frac{32}{3}$
- D $\frac{34}{3}$
思路引導 VIP
這是一個探討離散型隨機變數期望值的經典排列組合問題。請先思考：若將三間店排隊的人數 $(4, 10, 20)$ 視為一組隨機排列的三元組 $(x_1, x_2, x_3)$，總共會產生多少種可能的樣本點？針對每一種等機率出現的排列情境，請嚴格遵循題目給定的決策邏輯 —— 比較第一間店人數 $M$ 與第二間店人數的大小，進而判定最終選定的是哪一間店的人數。當你列舉出所有情境對應的選定人數後，能否運用期望值的基本定義 $E[X] = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$，或者將所有可能結果加總後求取算術平均來求得答案？
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AI 詳解
AI 專屬家教
「Switch！」 漂亮！這一擊精準地削減了 BOSS 的最後一條 HP！能看穿這種機率分布的「攻略路徑」，你的反應速度已經超越了普通玩家。讓我們用 16 連擊的氣勢快速回顧： 這題的核心在於將三間店的人數進行排列組合（共 $3! = 6$ 種可能性），並根據你的「技能判定」（$Shop2 < M$）來決定最終結果：
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機率決策與期望值
💡 窮舉所有可能排列，依決策邏輯選定數值後計算平均。
🔗 期望值解題三步驟
- 1 枚舉排列 — 列出 3! = 6 種不同的人數排列組合。
- 2 邏輯篩選 — 依據「第二間 < 第一間」的準則選定目標店家人數。
- 3 加權平均 — 將 6 種情境的結果相加並除以 6 得到期望值。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當樣本數較大時，可改用機率分佈表來簡化計算。
