調查局三等申論題
111年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
二、請考慮一個微分方程式，如下所示： d²/dx² y(x) + 6 d/dx y(x) - 7y(x) = cos(x)
二、請考慮一個微分方程式，如下所示： d²/dx² y(x) + 6 d/dx y(x) - 7y(x) = cos(x)
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
本微分方程式是否可以歸類為二階的線性微分方程式（second-order linear differential equation）？（5 分）
思路引導 VIP
面對微分方程式分類問題，首要步驟是回顧『線性』與『階數』的嚴謹數學定義。檢視方程式的最高階導數以確認階數，並嚴格檢驗應變數 y(x) 及其各階導數是否皆為一次方、是否無相乘的非線性項，且各項係數與非齊次項是否僅為自變數 x 的函數或常數。
小題 (二)
請寫出此微分方程式之齊次解（homogeneous solution）的一般形式（general form）。（7 分）
思路引導 VIP
看到常係數線性微分方程式求齊次解，首先應將等號右側設為零，並寫出對應的「特徵方程式」（Characteristic equation）。解出特徵根後，再依據根的性質（相異實根、重根或共軛複數根）組合出齊次解的線性組合一般式。
小題 (三)
請求解此微分方程式之特定解（particular solution）。（8 分）
思路引導 VIP
觀察方程式右側非齊次項為 cos(x)，最直接的作法是使用「待定係數法」（Method of Undetermined Coefficients）。先確認齊次解特徵根以確保不重複，再假設特定解形式為 yp(x) = A cos(x) + B sin(x)，求導後代入原式比較係數即可。