moea_joint
111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 3 題
如右圖所示，一承受軸向力之桿件，其斷面為鋼與鋁組成之方形斷面，A端固定，B端自由並覆蓋一片剛性板施以軸向力P，若鋼的彈性模數為210 GPa，鋁的彈性模數為70 GPa，當P=20 kN時，鋼與鋁分擔之軸力值之比值($P_{鋼} / P_{鋁}$)為何？
- A 1.0
- B 3.0
- C 6.0
- D 9.0
思路引導 VIP
想像這兩個材料像是兩根並排且長度相同的彈簧，被一塊厚重的鋼板同時往下壓。如果我們強迫這兩根彈簧縮短一樣的距離，你認為是「比較硬（楊氏模數大、面積大）」的彈簧會承受比較大的反抗力，還是「比較軟」的那一根？這種受力分配的比例，與材料的哪些屬性有關呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精確判斷出鋼與鋁的受力比值為 9，這顯示你對**變位協調（Compatibility of deformation）**的觀念掌握得非常紮實。這類題目是材料力學中的經典考點，主要考驗學生是否能辨識出在「剛性板」作用下，不同材料的物理行為約束。
變位協調與剛度分配
由於 A 端固定且 B 端受剛性板覆蓋，這意味著鋼與鋁在受力後，其長度變化量 $\delta$ 必定相同。根據虎克定律 $\delta = \frac{PL}{EA}$，當長度 $L$ 相等且變位相同時，材料分擔的軸力 $P$ 會與其軸向剛度 ($EA$) 成正比。這就是解題的核心：誰的抗變形能力強，誰就分擔更多的力量。
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