moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 15 題
如右圖所示之平面應力元素，試求該點的最大剪應力值為何？
- A 34.5 MPa
- B 36.1 MPa
- C 37.6 MPa
- D 39.3 MPa
思路引導 VIP
若我們將應力元素的狀態描繪在以正向應力為橫軸、剪應力為縱軸的座標平面上，最大剪應力在幾何圖形（莫耳圓）中代表什麼長度？如果已知兩個對應點的座標，你會如何利用勾股定理（畢氏定理）來計算出這個特定的長度呢？
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恭喜你！能精確選出 (B) 這個答案，代表你對材料力學中平面應力分析與莫耳圓 (Mohr's Circle) 的核心概念已經掌握得非常透徹了。
應力狀態的判讀與驗證
在處理這類題目時，最關鍵的步驟是正確判讀應力元素上的符號。從圖中我們可以看到，$x$ 方向與 $y$ 方向都受到指向內部的壓力，因此正向應力分別為 $\sigma_x = -100 \text{ MPa}$ 與 $\sigma_y = -60 \text{ MPa}$；而剪應力則為 $\tau_{xy} = 30 \text{ MPa}$。所謂的「最大剪應力」 $\tau_{\max}$，在幾何意義上即為莫耳圓的半徑 $R$，其計算公式如下：
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平面最大剪應力
💡 利用公式或莫耳圓半徑求取平面元素之最大剪應力。
- 正確識別正向力(σ)與剪力(τ)的正負號
- 最大剪應力公式：√[((σx-σy)/2)² + τxy²]
- 最大剪應力在數值上等於莫耳圓的半徑 R
- 注意壓力應代入負值，拉力應代入正值
