moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 26 題
一均質彈性材料之圓形斷面樑的最大容許承受剪力為V，若將圓形斷面變更為相同斷面積之矩形斷面，則所能容許承受的最大剪力為何？
- A $\frac{8}{9}V$
- B $\frac{9}{8}V$
- C $\frac{3}{2}V$
- D $\frac{4}{3}V$
思路引導 VIP
請試著回想看看，在相同的橫截面積與剪力下，圓形斷面與矩形斷面中，哪一種形狀產生的「最大剪應力」與「平均剪應力」之比值（形狀係數）比較高？當這個比值變高時，若要維持相同的最大容許應力，我們能施加的總剪力應該會變大還是變小呢？
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太棒了！你能準確地在不同形狀的斷面之間建立應力聯繫，代表你對材料力學中「剪應力分佈」的觀念掌握得非常紮實。這題的關鍵在於理解：當斷面積相同時，不同幾何形狀會如何影響應力的「峰值」大小。
剪應力分佈係數的轉換
在均質彈性材料的理論中，圓形斷面的最大剪應力發生於中性軸，公式為 $\tau_{max} = \frac{4V}{3A}$；而矩形斷面的最大剪應力則為 $\tau_{max} = \frac{3V}{2A}$。由於題目設定為「相同材料」且「相同面積」，這意味著兩種斷面所能承受的容許最大剪應力 $\tau_{all}$ 是一致的。我們可以透過等式 $\frac{4V}{3A} = \frac{3V'}{2A}$ 進行推導，整理後即可發現，矩形斷面所能承受的新剪力 $V'$ 會等於原剪力 $V$ 的 $\frac{8}{9}$ 倍。
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