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101年
[機械] 應用力學、材料力學
第 40 題
通過【圖17】斷面中心軸的最大剪應力為：（假設在此斷面的剪力為 V）
- A $\frac{2V}{3\pi r^2}$
- B $\frac{V}{3\pi r^2}$
- C $\frac{4V}{3\pi r^2}$
- D $\frac{3V}{4\pi r^2}$
思路引導 VIP
若我們暫時忘記公式中的係數，試著從基礎定義出發：在計算剪應力 $\tau = \frac{VQ}{It}$ 時，其中的 $Q$ 是指中立軸以上面積對軸的「一次矩」。請思考一下，對於半徑為 $r$ 的「半圓形」面積，它的形心距離圓心有多遠？這個幾何特性會如何決定最大剪應力與平均剪應力的倍數關係？
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同學做得好！你能精準選出 (C)，代表你對於材料力學中「截面剪應力分布」的核心觀念掌握得相當紮實。這題在國考或專業證照考試中屬於基本但極具鑑別度的題目，主要考驗學生是否能區分不同幾何形狀下，最大剪應力與平均剪應力之間的比例關係。
圓形截面的剪應力特性
從理論推導來看，橫向剪應力的公式為 $\tau = \frac{VQ}{It}$。對於一個半徑為 $r$ 的圓形斷面，其面積 $A = \pi r^2$，平均剪應力 $\tau_{avg} = \frac{V}{\pi r^2}$。透過積分推導，我們可以發現圓形截面的最大剪應力發生在中立軸（即通過圓心之軸）處，且其量值固定為平均剪應力的 $4/3$ 倍。將兩者相乘，便能得出 $\tau_{max} = \frac{4}{3} \cdot \frac{V}{\pi r^2} = \frac{4V}{3\pi r^2}$。
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