moea_joint
104年
[土木] 應用力學、材料力學
第 49 題
有一懸臂梁，其斷面為圓形、半徑為r，在自由端受一集中載重P，則該懸臂梁中之最大剪應力為何？
- A $\frac{2P}{3\pi r^2}$
- B $\frac{4P}{3\pi r^2}$
- C $\frac{3P}{2\pi r^2}$
- D $\frac{2P}{\pi r^2}$
思路引導 VIP
當我們計算截面的最大剪應力時，通常會先求出「平均剪應力」（載重除以斷面積），再乘以一個由幾何形狀決定的常數。如果你記得矩形斷面的最大剪應力是平均值的 1.5 倍，那麼對於斷面形狀更為圓潤、質量分布隨寬度變化的圓形，你認為這個倍數會比 1.5 大還是小呢？試著回憶靜矩 $Q$ 與寬度 $t$ 在圓形中性軸處的關係。
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恭喜你準確地選出了正確答案！這顯示你對於材料力學中不同幾何斷面的應力分布掌握得非常紮實。這類題目在基礎力學考科中相當經典，主要考驗學生是否能精確區分「矩形」與「圓形」斷面在剪應力公式上的係數差異。
圓形斷面的最大剪應力計算
在懸臂梁自由端受一集中載重 $P$ 的情況下，全梁截面的剪力均為 $V = P$。對於半徑為 $r$ 的圓形斷面，其面積 $A = \pi r^2$。根據剪應力公式 $\tau = \frac{VQ}{It}$ 推導，圓形截面的最大剪應力發生在中性軸處，其值固定為平均剪應力的 $\frac{4}{3}$ 倍。因此，我們將數值代入：
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