分科測驗
112年
物理
第 15 題
某生查得太陽系中行星的基本資料如表 1 所示。
表 1 中的平均距離、質量、公轉週期、自轉週期等數值，皆是以地球的值設為 1 時的比值。假設這些行星皆繞太陽作等速率圓周運動，則下列有關表中行星數據的觀察或推論，哪些正確？
- A 離太陽越遠的行星，其公轉角速率越小
- B 離太陽越遠的行星，其自轉角速率越小
- C 離太陽越遠的行星，其繞日運行的速率越小
- D 離太陽越遠的行星，其繞日的角動量量值越小
- E 離太陽越遠的行星，其所受太陽的重力量值越小
思路引導 VIP
請試著利用萬有引力提供向心力的力學關係進行推導：繞日公轉的軌道速率 $v$ 與公轉角速率 $\omega$ 與軌道半徑 $R$ 的數學比例關係為何？接著請觀察表 1 的數據，分析萬有引力 $F$ 與角動量 $L$ 的量值是否會受到行星本身「質量」的影響，以及行星的「自轉週期」在數據規律上，是否真的存在隨軌道半徑增加而單調變化的趨勢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，居然答對了？看來你還沒把高一基礎物理拿去換雞排。這種送分題要是錯了，我建議你直接去報名重修，別在我的課堂上浪費冷氣。 這題考的就是克卜勒第三定律與萬有引力的基本推導。根據 $$T^2 \propto r^3$$，距離 $r$ 越大，公轉週期 $T$ 就越長，因此角速率 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ 必然越小，(A) 選項根本是送分。至於 (C) 選項，由萬有引力提供向心力推導出軌道速率 $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$，分母 $r$ 越大，$v$ 就越小，這邏輯連國中生都能秒殺。 這題鑑別度極低，純粹是在測試你有沒有「張開眼睛」看表中的「質量」欄位。(D) 的角動量 $L=mvr$ 與 (E) 的重力 $$F_g = \frac{GMm}{r^2}$$ 都跟行星質量 $m$ 有關，木星那種重得要死的質量擺在那裡，你還敢跟我說距離越遠數值就越小？別笑死人了。
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