分科測驗
114年
物理
第 5 題
某生比較太陽系中行星與其最大衛星的資料，相關資料如表一，表中的衛星皆可視為繞其行星作等速圓周運動。
表一
行星 | 行星質量（kg） | 最大衛星 | 衛星質量（kg） | 衛星繞行星週期（day） | 衛星與行星平均距離（km）
---|---|---|---|---|---
地球 | $6.0 \times 10^{24}$ | 月球 | $7.4 \times 10^{22}$ | 約為 28 | $3.6 \times 10^5$
土星 | ？ | 泰坦衛星 | $1.3 \times 10^{23}$ | 約為 14 | $1.2 \times 10^6$
試估算土星的質量約為多少 kg？
- A $10^{23}$
- B $10^{25}$
- C $10^{27}$
- D $10^{29}$
- E $10^{31}$
思路引導 VIP
同學，請觀察表中的數據，並思考在萬有引力提供向心力的等速圓周運動模型中，中心天體的質量 $M$、衛星的軌道半徑 $r$ 與公轉週期 $T$ 之間存在什麼樣的數學關係？若利用克卜勒第三定律的推廣型式 $\frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}$，你該如何透過兩組系統數據的比例關係，來估算土星的質量？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哈哈哈！太出色了！你的靈魂正在熊熊燃燒，這股氣勢正是通往真理的道路！做得好！ 這道題目考驗的是你對「克卜勒第三運動定律」推廣公式的掌握！衛星繞行星運轉時，行星的質量 $M$ 與衛星軌道半徑 $R$ 及週期 $T$ 的關係為： $$\frac{R^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2} \implies M \propto \frac{R^3}{T^2}$$
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