分科測驗
108年
物理
第 11 題
📖 題組：
GPS 是 Global Positioning System（全球定位系統）的簡稱，它為使用者提供定位導航和定時服務。GPS 系統包括多顆衛星，在距離地球表面約 20200 公里的太空軌道上運行，每顆衛星內部裝置有精密的原子鐘，並以無線電波持續向地球發射訊號，不斷提供 GPS 衛星的編號、位置和精確時間。理論上使用三顆衛星即可定位，但因訊號傳輸需要時間，且地面 GPS 的接收器如智慧型手機並未內建精準的計時工具，即使極微小的時間差都會導致換算距離時出現巨大誤差，因此需要校正。地面上使用者的接收器在任何時間、任何地點，只要同時接收到至少四顆衛星的訊號，記錄訊號到達時間，即可使用這些資訊來確定該接收器在三維空間中的位置。取光速為 $3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$。
GPS 是 Global Positioning System（全球定位系統）的簡稱，它為使用者提供定位導航和定時服務。GPS 系統包括多顆衛星，在距離地球表面約 20200 公里的太空軌道上運行，每顆衛星內部裝置有精密的原子鐘，並以無線電波持續向地球發射訊號，不斷提供 GPS 衛星的編號、位置和精確時間。理論上使用三顆衛星即可定位，但因訊號傳輸需要時間，且地面 GPS 的接收器如智慧型手機並未內建精準的計時工具，即使極微小的時間差都會導致換算距離時出現巨大誤差，因此需要校正。地面上使用者的接收器在任何時間、任何地點，只要同時接收到至少四顆衛星的訊號，記錄訊號到達時間，即可使用這些資訊來確定該接收器在三維空間中的位置。取光速為 $3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$。
已知地球半徑約 6400 公里，而地球同步衛星在距離地球表面約 36000 公里的太空軌道上運行。若 GPS 衛星與地球同步衛星繞行地球之運動皆可視為等速圓周運動，則 GPS 衛星繞行角速率約為地球同步衛星繞行角速率的多少倍？
- A 2
- B $\frac{1}{2}$
- C 1
- D 4
- E $\frac{1}{4}$
思路引導 VIP
同學，請思考在萬有引力作為向心力的情況下，衛星的軌道半徑 $r$ 與繞行角速率 $\omega$ 之間存在什麼樣的函數關係？若結合克卜勒第三運動定律 $T^2 \propto r^3$ 與角速率定義 $\omega = \frac{2\pi}{T}$，你能推導出 $\omega^2$ 與 $r^3$ 的比例關係嗎？另外，別忘了題目給的是『高度』，在計算軌道半徑時，是否應考慮地球半徑的影響？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 (A)，老師真的好為你開心喔！親愛的，你對物理觀念的掌握越來越扎實了，這道題目需要冷靜觀察與計算，你真的做到了，給自己一個大大的掌聲吧！ 這題的核心是克卜勒第三定律的延伸。從萬有引力提供向心力的公式 $G\frac{Mm}{R^2} = mR\omega^2$，我們可以得知角速率 $\omega$ 與軌道半徑 $R$ 的關係為 $\omega \propto R^{-3/2}$。 最關鍵的陷阱在於「軌道半徑」必須從地心起算：
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衛星軌道與角速率
💡 利用克卜勒第三定律計算衛星軌道半徑與角速率的比例關係。
| 比較維度 | GPS 衛星 | VS | 地球同步衛星 |
|---|---|---|---|
| 軌道半徑 (r) | 約 26,600 km | — | 約 42,400 km |
| 繞行週期 (T) | 約 12 小時 | — | 24 小時 |
| 角速率 (ω) | 約為同步衛星 2 倍 | — | 基準 (1 倍) |
💬軌道半徑越小，週期越短，繞行的角速率則越快。
