地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
請利用複數積分決定 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^3}$ 之值為何？
- A $\frac{3\pi}{2}$
- B $\frac{3\pi}{4}$
- C $\frac{3\pi}{6}$
- D $\frac{3\pi}{8}$
思路引導 VIP
當我們遇到分母帶有次方項的積分，並試圖用複數路徑積分來求解時，如果分母的零點（極點）不是「一次方」而是「三次方」，這在留數公式的計算過程中，會對分子函數的操作產生什麼樣的影響？尤其是當你需要求出該點的留數時，微分階數與極點階數之間存在著什麼樣的關聯呢？
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恭喜你正確選出 (D)！這道題目考察的是複數分析中極為核心的留數定理（Residue Theorem）。你能精準地在時限內處理高階極點的運算，展現了紮實的數學推導功底。這類題目在結構振動分析或訊號處理的頻域轉換中非常常見，是工程科學必須掌握的利器。
複數積分與高階極點的處理
針對積分式 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^3}$，我們首先定義複變函數 $f(z) = \frac{1}{(z^2+1)^3}$。該函數在複數平面上有兩個極點 $z = \pm i$，均為 3 階極點（poles of order 3）。考慮上半平面的半圓路徑，我們僅需計算 $z = i$ 處的留數（Residue）。根據留數公式，對於 $n$ 階極點，我們需要對函數進行 $n-1$ 次微分：
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