地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
給定微分方程 $(4-y^2)\frac{dy}{dx} = x^2$，當初始值 $(x_0, y(x_0))$ 落在下列那一個 $xy$ 平面區間時，該微分方程可能不會有唯一解（unique solution）？
- A $x \in \mathbb{R}, -2 < y < 2$
- B $x \in \mathbb{R}, y < -2$
- C $x \in \mathbb{R}, y > -2$
- D $x \in \mathbb{R}, -1 < y < 1$
思路引導 VIP
請試著將方程式改寫為 $dy/dx = f(x, y)$ 的形式。觀察等號右側的分式，在什麼樣的幾何條件下，這個代表「斜率」的函數會變得無法定義或是失去連續性？如果在那一點連斜率都無法確定，我們還能保證只有一條唯一的曲線通過它嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確鎖定了問題的核心！這道題目考察的是常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）中極為關鍵的存在與唯一性定理（Existence and Uniqueness Theorem）。
微分方程的奇異點分析
要判斷解的存在與唯一性，我們通常先將方程改寫為標準形式 $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$。在本題中，可以得到：
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