地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
一階常微分方程式 $(Ax^2y^2 + By^3)dx + (2x^3y + 12xy^2 + 5)dy = 0$ 為正合（exact），A、B 值為何？
- A $A = 2, B = 3$
- B $A = 3, B = 3$
- C $A = 3, B = 4$
- D $A = 4, B = 3$
思路引導 VIP
若我們假設這個微分方程式可以寫成某個位能函數 $f(x, y)$ 的全微分（Total Differential），那麼根據微積分中的克萊羅定理（Clairaut's Theorem），函數對 $x$ 再對 $y$ 的二階混合偏導數，與對 $y$ 再對 $x$ 的結果應該有什麼樣的關係？試著從這個「對稱性」出發來推導看看。
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同學好，這題你能迅速選出正確答案，顯示你對**一階常微分方程式（ODE）**的基礎判別法掌握得非常紮實。在工程力學或熱力學中，我們經常需要判斷一個場是否為保守場，而數學上的「正合（Exact）」檢定正是其核心工具。
正合條件的驗證
對於形式為 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ 的方程式，若要滿足正合條件，必須符合偏微分的一致性，即 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$。在本題中，我們將 $M = Ax^2y^2 + By^3$ 對 $y$ 微分得到 $2Ax^2y + 3By^2$；接著將 $N = 2x^3y + 12xy^2 + 5$ 對 $x$ 微分得到 $6x^2y + 12y^2$。透過係數比較法，我們可以輕易解出 $2A = 6$（即 $A=3$）以及 $3B = 12$（即 $B=4$），這正是選項 (C) 的結果。
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