普考申論題
112年
[工業工程] 工程統計學與品質管制概要
第 一 題
一、某一物流公司每週出車之機率p（x）如下表：
求物流公司每週出車次數介於正負兩個標準差間之機率[即p（μ－2σ < X < μ＋2σ）之值]。另以Chebyshev定理估計結果，與前述p（μ－2σ < X < μ＋2σ）答案進行比較並評論之。（25分）
| 每週出車之次數 x | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|
| p（x） | 0.1 | 0.8 | 0.1 |
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到求機率與評估的題型，先利用離散機率分配公式計算期望值 (μ) 與標準差 (σ)，找出題目要求的區間並加總對應的實際機率。接著代入柴比雪夫定理 (Chebyshev's Theorem) 公式計算機率的保守下界，最後比較實際值與理論下界的差異，點出定理適用於未知分配但較為保守的特性。
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【解題關鍵】利用離散隨機變數之期望值與變異數公式求出 $\mu$ 與 $\sigma$，並代入柴比雪夫定理 (Chebyshev's Theorem) $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}$ 進行比較。 【解答】 已知隨機變數 $X$ 代表每週出車次數，其機率分配為：$P(X=12)=0.1$，$P(X=13)=0.8$，$P(X=14)=0.1$。
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柴比雪夫定理與應用
💡 柴比雪夫定理提供任意分配在正負k倍標準差內的機率下界。
| 比較維度 | 實際機率計算 | VS | 柴比雪夫定理估計 |
|---|---|---|---|
| 適用前提 | 必須已知母體機率分配 | — | 僅需已知平均數與變異數 |
| 估計結果 | 精確機率值 (本題為 0.80) | — | 機率保守下界 (≧ 0.75) |
| 優缺點 | 數值精確但受限已知分配 | — | 適用任何分配但估計偏保守 |
💬柴比雪夫定理具廣泛適用性，但母體分配已知時直接計算更精確。
