普考申論題
112年
[水利工程] 水文學概要
第 三 題
某一集水區在其雨季的平均降雨深度（cm）為一隨機變數（random variable），以 x 表示之，其機率密度函數（probability density function） f(x) 具有以下形式：f(x) = x/400（0 ≤ x ≤ 20 cm）。該機率密度函數為對稱型式，且在 x = 0 ~ 40 cm 間為一個等腰三角形。試寫出 20 ≤ x ≤ 40 cm 間的機率密度函數？試計算明年雨季降雨深度不會超過 10 cm 的機率？試計算未來三年雨季降雨深度 ≥ 25 cm 的機率？（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
- 先利用對稱性與等腰三角形的幾何特性，推導出 20 到 40 cm 區間的直線方程式，完成機率密度函數（PDF）的建立。2. 降雨不超過或超過某數值的機率，即為計算該區間內 PDF 曲線下的面積（可使用積分或三角形面積公式）。3. 「未來 N 年發生某事件的機率」屬於水文風險（Risk）計算，必須運用互補機率的邏輯：1 扣除「連續 N 年皆未發生」的機率。
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【解題關鍵】利用機率密度函數的幾何對稱性求出方程式，並運用積分求得單年發生機率，最後以二項式分佈的互補機率推導未來多年的水文風險。 【解答】 Step 1：推導 20 ≤ x ≤ 40 cm 間的機率密度函數
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