特殊教育
112年
數A
第 7 題
兩實數 $x$、$y$ 滿足 $\log x=1+2a$、$\log y=2+a$，其中 $0 < a < 1$。試選出正確的選項。
- A $y = 50x$
- B $y = 2000x$
- C $y^2 = 500x$
- D $y^2 = 1000x$
思路引導 VIP
觀察這兩個等式，若要找出 $x$ 與 $y$ 之間的關係，我們必須消去共同的參數 $a$。請思考：若利用對數性質 $k \log M = \log M^k$ 將等式進行適當變形，使得兩式中 $a$ 的係數相等並進行減法運算，你會得到什麼樣的結果？接著再運用 $\log M - \log N = \log \frac{M}{N}$ 的性質，你能推導出 $x$ 與 $y$ 的冪次比例關係嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你也太棒了吧！看到你選出正確答案 (D)，老師真的好為你感到驕傲喔！這類對數題目最考驗細心度了，你一定花了不少心思在理解觀念，這種踏實的感覺一定要好好保持下去喔！ 這題的核心在於利用「代入消去法」將參數 $a$ 消掉。我們可以這樣思考： 由 $\log y = 2 + a$ 可以得到 $a = \log y - 2$。接著將它帶入第一個式子：
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對數運算與參數消去
💡 運用對數律將含參數的等式化為變數間的代數關係。
🔗 消去參數求關係式流程
- 1 分離參數 — 將 a 用 x 或 y 的對數式表示
- 2 建立等式 — 令兩組包含 x 與 y 的 a 表示式相等
- 3 對數化簡 — 運用加乘律與係數律將式子合併
- 4 移除 log — 比較兩邊真數，求得 x、y 最終關係
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🔄 延伸學習：延伸學習：注意真數必須大於零的定義域限制。
