普考申論題
112年
[環境工程] 流體力學概要
第 四 題
四、管流的流況為層流，其流速分布為v = vmax[1−(r/r0)2]，其中vmax為最大流速，v為距圓心r處之流速，r0則為水管的半徑。請推求動能校正係數。（20分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道標準的流體力學數學推導題。1. 首先必須寫出動能校正係數 $\alpha$ 的微積分定義式 $\alpha = \frac{1}{A \bar{V}^3} \int v^3 dA$。2. 接著需要知道平均流速 $\bar{V}$，可以透過將給定的流速分佈積分求總流量 $Q$ 再除以面積 $A$ 來證明 $\bar{V} = v_{max}/2$。3. 利用極座標微面積 $dA = 2\pi r dr$，把 $v^3$ 放進去執行定積分，推薦使用代換積分法（如令 $u = 1-(r/r_0)^2$）可大幅簡化計算。4. 將積分結果代回公式即可求得常數值。
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【考點分析】 管流流速分佈、流量積分推導、動能校正係數（Kinetic energy correction factor）之定義與計算。 【理論/法規依據】
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