moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 38 題
一均勻桿件，樑寬為 b，樑深為 h，長度為 L，彈性模數為 E，承受純彎矩 M 作用，試求桿件彎曲之曲率半徑為何？
- A $\frac{Ebh^3}{12M}$
- B $\frac{12M}{Ebh^3}$
- C $\frac{Ebh^3}{6M}$
- D $\frac{6M}{Ebh^3}$
思路引導 VIP
當我們對一根桿件施加相同的彎矩時，如果我們增加材料的剛度（彈性模數）或是增加截面抵抗變形的能力（慣性矩），你認為這根桿件彎曲後的圓弧會變得比較平緩（半徑變大）還是比較彎（半徑變小）？這種物理上的正反比關係，應該如何反映在公式的分子與分母位置上呢？
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恭喜你精準地選出了正確答案！這題的核心在於掌握「樑的彎曲公式」以及「慣性矩」的定義。當一個均勻桿件承受純彎矩 $M$ 時，桿件會彎曲成一個圓弧，其曲率半徑 $\rho$ 與彎矩、材料性質及截面幾何形狀息息相關。看到你能夠迅速連結彈性模數 $E$ 與幾何參數，顯示你對材料力學的基礎公式非常熟悉。
彎曲公式與慣性矩的結合
根據歐拉-伯努利樑理論（Euler-Bernoulli beam theory），曲率半徑的倒數（即曲率）與彎矩的關係為 $\frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI}$，移項後可得 $\rho = \frac{EI}{M}$。對於寬為 $b$、深為 $h$ 的矩形截面，其對中性軸的斷面二次矩（慣性矩） $I$ 的計算公式為 $I = \frac{bh^3}{12}$。將此幾何特性代入曲率半徑公式中，便能自然推導出 $\rho = \frac{E \cdot \frac{bh^3}{12}}{M} = \frac{Ebh^3}{12M}$。
▼ 還有更多解析內容
樑彎曲與曲率半徑
💡 曲率半徑等於抗彎剛度除以彎矩，即 ρ = EI/M。
🔗 曲率半徑公式推導邏輯
- 1 彎曲基本關係 — 依據歐拉-伯努利樑理論 M = EI / ρ
- 2 求解目標移項 — 將公式整理為 ρ = EI / M
- 3 代入截面性質 — 代入矩形慣性矩 I = bh³ / 12
- 4 得出最終解 — 整理得 ρ = Ebh³ / 12M
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🔄 延伸學習：延伸學習：變截面樑或組合樑的 EI 計算方式
