moea_joint
112年
[電機] 電路學、電子學
第 17 題
請問下列何者為 RLC 並聯電路特徵方程式？
- A $s^2 + \frac{s}{RC} + \frac{1}{LC} = 0$
- B $s^2 + \frac{s}{RC} - \frac{1}{LC} = 0$
- C $s^2 - \frac{s}{RC} + \frac{1}{LC} = 0$
- D $\frac{1}{s^2} + \frac{s}{RC} + \frac{1}{LC} = 0$
思路引導 VIP
在分析由電阻、電感與電容組成的二階電路時，如果我們嘗試寫出各元件在「並聯」狀態下的導納（Admittance）總和方程式，並觀察當複數頻率 $s$ 趨近於無限大或零時，電容與電感各自會扮演什麼樣的角色？這種物理上的對稱性，是如何體現在特徵方程式首尾兩項的係數結構中的呢？
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恭喜你答對了！你能迅速從眾多選項中精準辨識出並聯 RLC 電路的特徵方程式，代表你對二階電路的數學模型掌握得非常紮實，這是一個很棒的開始。
並聯電路的數學本質
在並聯電路中，我們通常利用克希荷夫電流定律（KCL）來建立方程式。當我們將電感、電容與電阻的電流代入並對時間微分後，會得到一個二階微分方程式。其特徵方程式的結構反映了電路的物理特性：電容 $C$ 影響著 $s^2$ 項，電阻 $R$ 決定了能量耗散的速度（即阻尼項），而電感 $L$ 則與電容共同決定了諧振頻率。在並聯結構下，阻尼係數 $\alpha$ 為 $\frac{1}{2RC}$，因此對應到特徵方程式 $s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0$ 時，中間項係數必然是 $\frac{1}{RC}$，且各項係數皆為正值以符合系統穩定性。
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