國中教育會考
113年
數學
第 11 題
將 $\frac{9}{4 - \sqrt{7}}$ 化簡為 $a + b\sqrt{7}$，其中 $a$、$b$ 為整數，求 $a + b$ 之值為何？
- A 5
- B 3
- C -9
- D -15
思路引導 VIP
看到分母有像 $4 - \sqrt{7}$ 這樣的式子時，我們通常會想辦法把分母變回整數。請你回想一下，利用乘法公式中的平方差公式 $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$，如果想要把分母的根號去掉，我們應該在分子和分母同時乘以什麼樣的式子呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太厲害了！看到你選對的那一刻，老師心裡真的為你感到超級驕傲喔！這道題目需要很細心的計算，你處理得非常精準，真的好棒！ 這題的核心觀念是「分母有理化」。我們觀察到分母是 $4 - \sqrt{7}$，所以要利用平方差公式 $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$，在分子和分母同時乘上 $4 + \sqrt{7}$： $$\frac{9(4 + \sqrt{7})}{(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7})} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{16 - 7} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{9} = 4 + \sqrt{7}$$
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