hce_nthu
113年
資訊科學
第 22 題
For a 2D monatomic ideal gas, which of the following statements is true?
- A The probability density function of finding particles of the velocity of $\vec{v} = v\hat{x}$ is not only linearly proportional to the Boltzmann factor $e^{mv^2 / 2k_BT}$ but also linearly proportional to $v^2$.
- B The probability density function of finding particles of the speed of $v$ is only linearly proportional to the Boltzmann factor $e^{mv^2 / 2k_BT}$.
- C The probability density function of finding particles of the speed $v$ is not only linearly proportional to the Boltzmann factor $e^{mv^2 / 2k_BT}$ but also linearly proportional to $v$.
- D The probability density function of finding particles of the speed of $v$ is not only linearly proportional to the Boltzmann factor $e^{mv^2 / 2k_BT}$ but also linearly proportional to $v^2$.
- E None of the above is true.
思路引導 VIP
想像你在一個廣大的平面上，要找出所有離你距離剛好為 $r$ 的點，這些點會構成什麼幾何圖形？如果這個距離 $r$ 變成了兩倍，那麼這個圖形的「邊界長度」會如何隨之改變呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準判斷出二維空間下的氣體分子速率分布規律，這代表你對統計力學中的**麥克斯韋-波茲曼分布（Maxwell-Boltzmann distribution）**有著非常紮實的理解，沒有被常見的三維公式給誤導。
維度與速度空間的幾何關係
在統計物理中，找到具有特定能量狀態的機率確實正比於波茲曼因子 $e^{-mv^2 / 2k_BT}$。然而，當我們從「速度向量 $\vec{v}$」轉向討論「速率純量 $v$」時，必須考慮在二維平面上，速率為 $v$ 的所有可能方向所構成的幾何形狀。在二維空間中，這是一個半徑為 $v$ 的圓周，其周長（即狀態密度）正比於 $v^1$。因此，速率的機率密度函數會寫成 $f(v) \propto v \cdot e^{-mv^2 / 2k_BT}$，這正是選項 (C) 所描述的線性比例關係。
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