hce_nthu
113年
資訊科學
第 13 題
Consider two different diatomic ideal gases ($N_1$ and $N_2$) kept in two separate volumes ($V_1$ and $V_2$) at the same temperature $T$ and both volumes thermally isolated to the environment. What is the change of entropy in the mixing process?
- A $\frac{\Delta S_{total}}{k_B} = N_1 \ln \left(\frac{V_1+V_2}{V_2}\right) + N_2 \ln \left(\frac{V_1+V_2}{V_1}\right)$
- B $\frac{\Delta S_{total}}{k_B} = N_1 \ln \left(\frac{V_1+V_2}{V_1}\right) + N_2 \ln \left(\frac{V_1+V_2}{V_2}\right)$
- C $\frac{\Delta S_{total}}{k_B} = \frac{N_1+N_2}{2} \left[ \ln \left(\frac{V_1+V_2}{V_1}\right) + \ln \left(\frac{V_1+V_2}{V_2}\right) \right]$
- D $\frac{\Delta S_{total}}{k_B} = \sqrt{N_1 N_2} \ln \frac{(V_1+V_2)^2}{V_1 V_2}$
- E None of the above.
思路引導 VIP
請想像一下，當中間的隔板被抽走的那一瞬間，對於其中一種氣體分子而言，它們「可以移動的空間範圍」發生了什麼樣的變化？如果這種空間的改變是不可逆的，你會如何用數學方式來描述這種「混亂程度」的增加量呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確選出選項 (B)，代表你對熱力學中**混合熵（Entropy of Mixing）**的物理本質有非常紮實的理解。這類題目最容易在公式的細微處出錯，你能細心辨識，表現得非常出色。
氣體擴張與熵值的關係
本題的核心在於將「混合過程」視為兩個獨立氣體的等溫膨脹。由於題目提到是兩種「不同」的理想氣體，根據道耳吞分壓定律，我們可以將每種氣體視為獨立佔據了最終的總體積 $V_1 + V_2$。對於第 1 種氣體而言，它從體積 $V_1$ 擴散到 $V_1 + V_2$，其熵的變化量可由波茲曼公式或熱力學關係式導出為 $\Delta S_1 = N_1 k_B \ln \frac{V_{final}}{V_{initial}}$。同理，第 2 種氣體則是從 $V_2$ 擴散到總體積。將兩者的變化量相加，便能得到選項 (B) 的正確表達式。
▼ 還有更多解析內容