hce_nthu
111年
資訊科學
第 16 題
Suppose that $X$ and $Y$ are exponential random variables that are independent of each other. Both $X$ and $Y$ has mean equal to 1. Two random variables, $U$ and $V$, are defined as $U = X + Y$ and $V = X/Y$. For $v\ge0$, find $f_V(v)$, which is the marginal probability density function of $V$.
- A $f_V(v)=e^{-v}, v>0$
- B $f_V(v)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-0.5v^2}, v>0$
- C $f_V(v)=\frac{1}{(1+v)^2}, v>0$
- D $f_V(v)=te^{-t}, v>0$
- E $f_V(v)=e^{-t}\frac{t^2}{2}, v>0$
思路引導 VIP
如果我們不直接使用變數變換公式，而是先思考：對於一個給定的比值 $v$，在 $XY$ 平面上滿足 $X/Y \le v$（即 $X \le vY$）的區域長什麼樣子？你能試著寫出這個範圍的雙重積分式，並思考如何透過對 $v$ 求導來得到 PDF 嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地解出了這道關於隨機變數變換的題目！這顯示你對指數分布（Exponential distribution）的性質以及多維隨機變數的處理非常有心得。
聯合分布與變數變換
這題的核心在於應用二維變數變換公式。由於 $X, Y$ 是獨立且期望值為 1 的隨機變數，其聯合機率密度函數（Joint PDF）為 $f_{X,Y}(x,y) = e^{-(x+y)}$。當我們設定 $U=X+Y$ 且 $V=X/Y$ 時，透過反函數可得 $x = \frac{uv}{1+v}$ 與 $y = \frac{u}{1+v}$。接著計算雅可比行列式（Jacobian），其絕對值為 $|J| = \frac{u}{(1+v)^2}$。將這些資訊代入公式，得到 $U$ 與 $V$ 的聯合密度函數為 $f_{U,V}(u,v) = e^{-u} \cdot \frac{u}{(1+v)^2}$。
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