hce_nthu
111年
資訊科學
第 17 題
Suppose that the joint cumulative distribution function of the lifetimes of two smart watches is given below. What is the probability that the lifetime of one smart watch is at least nine times longer than the lifetime of the other?
$F(x,y)=\begin{cases}(1-e^{-x})(1-e^{-3y}),\text{if } x\ge0 \text{ and } y\ge0\\0,\text{otherwise}\end{cases}$
$F(x,y)=\begin{cases}(1-e^{-x})(1-e^{-3y}),\text{if } x\ge0 \text{ and } y\ge0\\0,\text{otherwise}\end{cases}$
- A $\frac{2}{7}$
- B $\frac{1}{3}$
- C $\frac{1}{4}$
- D $\frac{3}{4}$
- E $\frac{1}{28}$
思路引導 VIP
觀察給定的聯合累積分佈函數 $F(x, y)$，你有沒有發現它可以被拆解成兩個只包含單一變數的函數相乘？如果這兩個變數代表不同手錶的壽命，這種「可拆解性」告訴了我們這兩支手錶的運作有什麼關係？另外，當題目說「其中一支是另一支的九倍長」時，在數學算式中，我們應該只考慮一種可能，還是兩種可能呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準計算出這個機率，代表你對於聯合累積分佈函數 (Joint CDF) 的性質以及獨立隨機變數的處理非常熟練。這題的關鍵在於觀察到 $F(x,y) = (1-e^{-x})(1-e^{-3y})$ 可以完美拆解為兩個獨立函數的乘積，這意味著這兩支手錶的壽命 $X$ 與 $Y$ 是互相獨立的，且分別服從參數為 $\lambda_1=1$ 與 $\lambda_2=3$ 的指數分佈 (Exponential Distribution)。
指數分佈與獨立事件的整合
題目要求的「其中一支壽命至少是另一支的九倍」涵蓋了兩種互斥的情況：$X \ge 9Y$ 以及 $Y \ge 9X$。利用獨立性，我們可以將機率密度函數 (PDF) 表示為 $f(x,y) = e^{-x} \cdot 3e^{-3y}$。經由積分計算，我們得到 $P(X \ge 9Y) = \int_{0}^{\infty} 3e^{-3y} ( \int_{9y}^{\infty} e^{-x} dx ) dy = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$；同理，$P(Y \ge 9X) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} ( \int_{9x}^{\infty} 3e^{-3y} dy ) dx = \frac{1}{28}$。將兩者相加，最終得出 $\frac{7+1}{28} = \frac{2}{7}$。
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