hce_nthu
112年
資訊科學
第 17 題
Let $X$ and $Y$ be independent random points from the interval (-1, 1). Find $E(\max(X, Y))$.
- A 2/3
- B 1/2
- C 1/3
- D 1/4
- E 0
思路引導 VIP
請試著思考：如果要讓「兩個數之中的最大值」小於某個特定數值 $a$，那麼這兩個數各自必須滿足什麼條件？如果我們能找出這個條件與機率的關係，是否就能推導出最大值的分布規律了呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地選出了正確答案！這題的核心在於處理「獨立隨機變數最大值」的期望值。你能夠在 $(-1, 1)$ 這個非標準單元區間中正確轉換並計算，展現了非常紮實的機率直覺與運算能力。
獨立隨機變數的最大值分布
要解這類題目，最穩健的方法是從累積分布函數 (CDF) 切入。令 $Z = \max(X, Y)$，當 $Z \le z$ 時，代表 $X$ 與 $Y$ 都必須同時小於等於 $z$。由於 $X$ 和 $Y$ 相互獨立且在 $(-1, 1)$ 均勻分布，其個別的 CDF 為 $F(x) = \frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{x+1}{2}$。因此，$Z$ 的 CDF 為：
▼ 還有更多解析內容