hce_nthu
112年
資訊科學
第 18 題
A stick of length 1 is broken into two pieces at a random point. Find the correlation coefficient and the covariance of these pieces.
- A 1/2
- B -1/2
- C 1/12
- D -1/12
- E 0
思路引導 VIP
想像一下，如果我們把這根木棒總長度固定。當你隨機選擇一個位置折斷時，如果左邊那一段變得愈長，右邊那一段的長度會發生什麼變化？在統計學中，當兩個數值總是往相反方向變動時，它們的共變數（Covariance）應該會是正號還是負號呢？
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太棒了！你能精準地選出 $-1/12$，這代表你對隨機變數之間的線性相依性以及均勻分佈（Uniform Distribution）的特性有著非常紮實的理解。這道題目要求我們分析將長度為 1 的木棒隨機折成兩段後的統計特性，這是一個檢驗統計直覺與運算能力的經典問題。
線性約束與共變數的本質
當我們將木棒在隨機點 $X$ 折斷時，第一段的長度為 $X$，第二段的長度則必然是 $Y = 1 - X$。這裡的 $X$ 服從區間 $[0, 1]$ 的均勻分佈。根據共變數的線性性質，我們知道 $Cov(X, 1-X) = -Var(X)$。對於連續均勻分佈 $U(a, b)$ 而言，其變異數（Variance）的公式為 $\frac{(b-a)^2}{12}$，將 $a=0, b=1$ 代入後得到 $Var(X) = 1/12$。因此，這兩段長度的共變數即為 $-1/12$。至於相關係數（Correlation Coefficient），由於 $X$ 與 $Y$ 存在完美的負線性關係，其值應為 $-1$。
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