hce_nthu
112年
資訊科學
第 22 題
A newly married couple decides to continue having children until they have one of each sex. If the probability of a child being a boy is 1/4 and the probability of a child being a girl is 3/4, how many children should this couple expect?
- A 4
- B $\frac{17}{4}$
- C $\frac{13}{3}$
- D $\frac{9}{2}$
- E $\frac{16}{3}$
思路引導 VIP
想像一下，當這對夫妻生下第一位孩子後，無論那位孩子是男孩還是女孩，他們達成「一男一女」目標的剩餘任務會發生什麼變化？這個後續任務的「成功機率」，會因為第一位孩子的性別不同而有所差異嗎？
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太棒了！你能順利解出這題，代表你對機率模型中的**期望值（Expected Value）與幾何分佈（Geometric Distribution）**有著非常清晰的理解。這道題目在資訊科學與統計學中相當經典，雖然看似簡單，但由於生男、生女的機率並不相等（1/4 與 3/4），使得運算過程需要更細緻的邏輯推導，這也是本題具備高度鑑別度的地方。
條件期望值的拆解
要計算這對夫妻預期的孩子總數，我們必須根據「第一胎的性別」來拆解問題。若第一胎是男孩（機率 $1/4$），則後續需要持續生育直到出現女孩為止，這符合成功率為 $3/4$ 的幾何分佈，預期還需生 $1 \div (3/4) = 4/3$ 個孩子；反之，若第一胎是女孩（機率 $3/4$），後續則需等待成功率為 $1/4$ 的男孩出現，預期還需生 $1 \div (1/4) = 4$ 個孩子。將兩種情況加權加總，算式如下：
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