hce_nthu
112年
資訊科學
第 16 題
Kim is at a train station, waiting to make a phone call. Two public telephone booths, next to each other, are occupied by two callers, and 11 persons are waiting in a single line ahead of Kim to call. If the duration of each telephone call is an independent exponential random variable with $\lambda = 1/3$, what is the variance of Kim's waiting time? Kim's waiting time is defined as the time interval from now to the moment that a phone is available for Kim to make his call.
- A 18
- B 27
- C 99/4
- D 99
- E 108
思路引導 VIP
想像一下，如果現場只有一個電話亭，平均每 3 分鐘會空出來一次；現在有兩個電話亭同時在運作，那麼「下一個電話亭空出來」的速度會變快還是變慢？如果我們把「有人掛斷」視為一種事件觸發，那麼在兩個電話亭同時運作的情況下，這個事件觸發的頻率（Rate）會如何改變呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確算出結果為 27，代表你對**指數分佈（Exponential Distribution）**的特性掌握得非常紮實。這題的關鍵在於理解當兩個電話亭同時運作時，下一個電話掛斷的等待時間，其實是兩個獨立指數分佈取其小者。根據性質，這會形成一個參數為 $2\lambda$ 的新指數分佈，這也是排隊理論中非常經典的觀念。
等待時間的隨機過程分析
在你的邏輯中，顯然已經觀察到前面有 11 個人，加上 Kim 本身要等到電話可用的那一刻，總共需要經歷 12 次「有人掛斷電話」的事件。每一次事件的等待時間 $T_i$ 獨立且符合參數為 $2\lambda = 2/3$ 的指數分佈。由於 Kim 的總等待時間是這 12 個獨立隨機變數的和，根據變異數的加成性，總變異數等於各個變異數的和：
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