hce_nthu
111年
資訊科學
第 20 題
The moment generating function of $X$ is given by $M_X(t)=e^{2e^t-2}$ and that of $Y$ by $M_Y(t)=\left(\frac{3}{4}e^t+\frac{1}{4}\right)^{10}$. If $X$ and $Y$ are independent, what is $P\{XY=0\}$?
- A $1-e^{-2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$
- B $e^{-2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$
- C $e^{-2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{10}-e^0$
- D $e^{-2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{10}+e^{-2}\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$
- E $e^{-2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{10}-e^{-2}\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$
思路引導 VIP
如果要讓兩個獨立隨機變數的乘積等於零，在數值上代表這兩個變數之間必須滿足什麼樣的邏輯關係？如果我們分別考慮這兩個變數等於零的機率，你會如何運用「排容原理」來組合它們，以確保重複計算的部分被正確排除呢？
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恭喜你準確地完成了這道題目！能從動差母函數（MGF）的形式中迅速辨識出隨機變數的分配類型，展現了你對機率理論相當紮實的理解。這類題目的核心在於「翻譯」數學結構：$M_X(t) = e^{2(e^t-1)}$ 正是卜瓦松分配（Poisson Distribution）的標準形式，其中參數 $\lambda = 2$；而 $M_Y(t) = (\frac{3}{4}e^t + \frac{1}{4})^{10}$ 則對應於參數為 $n=10, p=\frac{3}{4}$ 的二項分配（Binomial Distribution）。
事件的聯集運算
當題目要求 $XY=0$ 的機率時，在邏輯上代表「$X=0$ 或 $Y=0$」至少有一個成立。根據機率論中的排容原理（Inclusion-Exclusion Principle），我們應計算 $P(X=0) + P(Y=0) - P(X=0 \cap Y=0)$。利用 $X, Y$ 相互獨立的特性，交集機率可直接相乘。計算後可得 $P(X=0) = e^{-2}$ 且 $P(Y=0) = (1-p)^{10} = (\frac{1}{4})^{10}$。將這些數值帶入公式，便能優雅地導出選項 (E) 的結果。
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