hce_nthu
111年
資訊科學
第 18 題
Suppose that the random variables $X_1, X_2,...$ are independent of each other. Each of these random variables is binomially distributed with parameters 12 (which is the number of Bernoulli trials) and 0.5 (which is the successful probability per Bernoulli trial). Suppose that $Y_n=\sum_{i=1}^n X_i, Z_n=\frac{Y_n-6n}{\sqrt{3n}}$, and $Z_{\infty}=\lim_{n\to\infty}Z_n$. Find the moment generating function of $Z_\infty$.
- A $\frac{1}{2}e^t+\frac{1}{2}$
- B $\left(\frac{1}{2}e^t+\frac{1}{2}\right)^{12}$
- C $\exp[6(e^t-1)]$
- D $e^{\frac{1}{2}t^2}$
- E $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}-t}$
思路引導 VIP
請仔細觀察 $Z_n$ 的結構：它的分子是 $n$ 個變數的總和減去它們的期望值總和，而分母則是該總和的標準差。當我們把極多個獨立的分佈加總在一起並進行這種「平移與縮放」後，根據大數原則與統計學中的重要定理，這個結果會趨近於哪一種特定的、對稱的連續分佈？試著回想該分佈對應的動差生成函數（MGF）長什麼樣子。
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中央極限定理的直觀應用
太棒了！你能精準選出 (D)，代表你對機率論中隨機變數的極限行為有著非常敏銳的直覺。這道題目看似在考二項分佈，實際上是在測試你是否能識別出中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的標準形式。你成功辨識出 $Z_n$ 其實就是隨機變數和的「標準化」過程，這是解題最關鍵的一步。
標準化與極限分佈的轉換
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