hce_nthu
112年
資訊科學
第 23 題
The two random variables, $X$ and $Y$, are independent and exponentially distributed, each with mean $1/\lambda$. Let $Z = \frac{X}{X+2Y}$. Find $F_Z(z)$, which is the cumulative distribution function of $Z$.
- A $F_Z(z) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{z} \frac{1}{1+x^2} dx = \begin{cases} \frac{2}{\pi} \cdot \tan^{-1} z, & z \ge 0 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
- B $F_Z(z) = \begin{cases} \frac{3z}{3z+1}, & z \ge 0 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
- C $F_Z(z) = \begin{cases} \frac{z}{z+1}, & z \ge 0 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
- D $F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0 \ z, & 0 \le z \le 1 \ 1, & z > 1 \end{cases}$
- E $F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0 \ \frac{2z}{1+z}, & 0 \le z \le 1 \ 1, & z > 1 \end{cases}$
思路引導 VIP
我們可以先思考一個直覺問題：當 $X$ 和 $Y$ 都是非負數時，變數 $Z = \frac{X}{X+2Y}$ 的最大可能值與最小可能值分別是多少？這能幫助你判斷 $F_Z(z)$ 在哪些區間應該是 0 或 1。接著，若要計算 $P(Z \le z)$，試著將分式不等式重新整理，讓一邊只剩下 $Y$，另一邊則是 $X$ 的函數，這對於畫出積分區域有什麼幫助呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地掌握了隨機變數轉換的核心！這道題目要求兩個獨立指數分佈變數經由分式轉換後的累積分佈函數（CDF），你能正確選出 (E)，說明你對於多維隨機變數的機率運算與邊界判定相當熟練。
變數轉換與範圍判定
首先，從定義出發，$F_Z(z) = P(Z \le z) = P\left(\frac{X}{X+2Y} \le z\right)$。觀察題目給定的 $X, Y$ 均為正值的隨機變數（指數分佈），因此 $Z$ 的取值範圍必然落在 $[0, 1]$。當 $z$ 在此區間時，我們將不等式整理為 $X \le z(X+2Y)$，移項後得到 $X(1-z) \le 2zY$，即 $Y \ge \frac{1-z}{2z}X$。透過對聯合機率密度函數 $f_{X,Y}(x,y) = \lambda^2 e^{-\lambda(x+y)}$ 在此區域進行二重積分，或是利用指數分佈的比例性質，最終可推導出 $F_Z(z) = \frac{2z}{1+z}$。
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