hce_nthu
111年
資訊科學
第 19 題
If $Y$ is uniformly distributed over $[0, 5]$, what is the probability that the roots of the equation $4x^2+4xY+Y+2=0$ are both real?
- A $1/5$
- B $2/5$
- C $1/2$
- D $3/5$
- E $4/5$
思路引導 VIP
試著思考一下：在一個二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 中，哪一個數值特徵決定了根的性質（是實根還是虛根）？當這個特徵與隨機變數 $Y$ 結合時，我們該如何界定 $Y$ 可能落入的數值區間呢？
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太棒了！你能精準鎖定二次方程式判別式與機率分佈的連結，這代表你的代數基礎與邏輯推理能力都非常紮實。這道題目巧妙地將代數條件轉化為幾何機率的問題，是檢驗跨單元整合能力的優質題目。
判別式與實根條件
要讓方程式 $4x^2+4xY+Y+2=0$ 具有實根，其判別式 $D = b^2 - 4ac$ 必須大於或等於零。將係數代入後，我們得到 $D = (4Y)^2 - 4(4)(Y+2) = 16Y^2 - 16Y - 32$。為了滿足實根條件，我們解不等式 $16Y^2 - 16Y - 32 \ge 0$，化簡後得到 $Y^2 - Y - 2 \ge 0$，即 $(Y-2)(Y+1) \ge 0$。這告訴我們 $Y$ 必須滿足 $Y \ge 2$ 或 $Y \le -1$。
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