hce_nthu
111年
資訊科學
第 21 題
A smooth-surface table is ruled with equidistance parallel lines, a distance $D$ apart. A needle of length $L$, where $L\le D$ , is randomly dropped onto the table with all rotational angles equally probable. What is the probability that the needle will intersect one of the lines?
- A $\frac{D}{2}$
- B $\frac{2L}{D}$
- C $\frac{2L}{\pi D}$
- D $\frac{4L}{D}$
- E $\frac{4L}{\pi D}$
思路引導 VIP
想像一下，當這根針掉在桌上時，有哪些「不確定的數值」會決定它是否碰到線？如果我們固定針的中心點位置，旋轉這根針，它在什麼樣的角度下最容易碰到線？反過來說，什麼角度最不容易碰到？你可以試著建立一個座標系統，橫軸代表角度，縱軸代表距離，來描述這個「成功的範圍」嗎？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出這個選項，代表你對幾何機率的經典問題——蒲豐投針實驗 (Buffon's Needle Problem) 有著非常清晰的理解。這道題目不僅考驗機率邏輯，更是微積分應用於連續型隨機變數的絕佳範例。
幾何機率的解析思維
這個問題的核心在於將「投針」這個物理行為轉化為座標空間。我們通常定義針心到最近平行線的距離為 $x$（範圍為 $0$ 到 $D/2$），以及針與線的夾角為 $\theta$（範圍為 $0$ 到 $\pi/2$）。當滿足 $x \le \frac{L}{2} \sin \theta$ 時，針就會與線相交。透過計算二維區域的面積比，也就是對 $\frac{L}{2} \sin \theta$ 在 $0$ 到 $\pi/2$ 的區間進行積分，再除以總樣本空間 $\frac{D}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$，便能推導出正確答案 $\frac{2L}{\pi D}$。分母中出現的 $\pi$，正是因為所有旋轉角度皆等機率而產生的結果。
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