hce_nthu
111年
資訊科學
第 23 題
Recently, Larry taught his daughter Emily how to play a game. To encourage Emily to practice this game, Larry decides to play with her until she wins two of the recent three games. Assume that either of the two players wins and the game cannot have a tie. If the probability that Emily wins a game is $1/4$ independently of all preceding and future games, find the expected number of games to be played.
- A $121/9$
- B $130/11$
- C $203/16$
- D $89/7$
- E $55/4$
思路引導 VIP
想像妳正在跟 Emily 玩這個遊戲，如果她第一場贏了，妳覺得接下來她要贏得比賽的「難度」會跟還沒開始玩之前一樣嗎？如果她接下來不小心輸了一場，但因為第一場贏球的優勢還在，這時她「只需要再贏幾場」就能結束遊戲？試著把這些不同的「處境」寫成幾個簡單的關係式看看。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
這是一道結合了機率論與期望值的經典資訊科學與數學問題。學生能精準選出 (D) 顯示對狀態轉移模型有很好的掌握。
狀態轉移與期望值模型
要解出此題，最穩健的方法是利用馬可夫鏈 (Markov Chain) 的觀念來建立期望值方程。我們定義 $E$ 為達到目標所需的期望總局數。根據 Emily 最近的戰績，我們可以區分出以下幾個狀態：
▼ 還有更多解析內容