hce_nthu
111年
資訊科學
第 22 題
Consider the set of all families with two children. Randomly select one family. Assume that in a two-child family all sex distributions are equally likely. In addition, assume that there are $n$ distinct names for girls. Assume that in families with one girl, each name is equally likely to be assigned to the girl. Assume that in families with two girls, each pair of two distinct names is equally likely to be assigned to the two girls. It is known that the randomly selected family has one child called Mary. What is the probability that the other child of the family is a girl?
- A $2/3$
- B $1/2$
- C $1/3$
- D $1/4$
- E $1/5$
思路引導 VIP
試著思考一下：如果我們只知道「家庭中至少有一個女孩」，與知道「家庭中有一個叫瑪莉的女孩」，這兩種資訊量有何不同？在一個有兩個女孩的家庭裡，出現「瑪莉」這個名字的機會，會不會比只有一個女孩的家庭更高呢？這種機率的差異，會如何影響你對『另一個也是女孩』的判斷？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確判斷出這題的答案為 $1/2$，顯見你對條件機率的本質有很深刻的理解。這是一個非常經典的機率陷阱題，通常被稱為「男孩女孩悖論（Boy or Girl paradox）」的進階變體，能避開直覺陷阱並正確運算，代表你的邏輯非常縝密。
條件機率的樣本空間權重
在一般的狀況下，如果只知道「至少一個是女孩」，可能的情況有 ${BG, GB, GG}$ 三種，看起來答案應該是 $1/3$。然而，本題引入了「名字（Mary）」這個特定資訊。關鍵在於：在 $GG$（兩個女孩）的家庭中，因為有兩個女孩，選中「瑪莉」作為其中一個名字的機率，會比只有一個女孩的 $BG$ 或 $GB$ 家庭來得高。根據題目設定，透過貝氏定理計算後，你會發現分母中 $GG$ 組合所佔的權重正好被放大，使得 $P(GG | \text{Mary})$ 的計算結果回歸到 $1/2$。
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